Тело брошено горизонтально

Если скорость направлена не вертикально, то движение тела будет криволинейным.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со скоростью (рис. 1). Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy. Начало отсчета координат совместим с начальным положением тела. Из рисунка 1 видно, что .

Тогда движение тела опишется уравнениями:

Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, т. е. тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением , т. е. так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Найдем уравнение траектории. Для этого из уравнения (1) найдем время и, подставив его значение в формулу (2), получим

Это уравнение параболы. Следовательно, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к параболе (см. рис. 1). Модуль скорости можно рассчитать по теореме Пифагора:

Зная высоту h, с которой брошено тело, можно найти время , через которое тело упадет на землю. В этот момент координата y равна высоте: . Из уравнения (2) находим

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально и движущегося под действием одной только силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Например, представим себе, что шару, лежащему на столе, сообщают толчок, и он докатывается до края стола и начинает свободно падать, имея начальную скорость , направленную горизонтально (рис. 174).

Спроектируем движение шара на вертикальную ось и на горизонтальную ось . Движение проекции шара на ось - это движение без ускорения со скоростью ; движение проекции шара на ось - это свободное падение с ускорением бее начальной скорости под действием силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Компонента скорости остается постоянной и равной . Компонента растет пропорционально времени: . Результирующую скорость легко найти по правилу параллелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.

Рис. 174. Движение шара, скатившегося со стола

Рис. 175. Шар, брошенный горизонтально со скоростью имеет в момент скорость

Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально. Координаты тела в момент времени имеют значения

Чтобы найти уравнение траектории, выразим из (112.1) время через и подставим это выражение в (112.2). В результатё получим

График этой функции показан на рис. 176. Ординаты точек траектории оказываются пропорциональными квадратам абсцисс. Мы знаем, что такие кривые называются параболами. Параболой изображался график пути равноускоренного движения (§ 22). Таким образом, свободно падающее тело, начальная скорость которого горизонтальна, движется по параболе.

Путь, проходимый в вертикальном направлении, не зависит от начальной скорости. Но путь, проходимый в горизонтальном направлении пропорционален начальной скорости. Поэтому при большой горизонтальной начальной скорости парабола, по которой падает тело, более вытянута в горизонтальном направлении. Если из расположенной горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177), то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик, двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная скорость воды и тем дальше от крана попадает струя на дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начерченными на нем параболами, можно убедиться, что струя воды действительно имеет форму параболы.

112.1. Какова будет через 2с полета скорость тела, брошенного горизонтально со скоростью 15м/с? В какой момент скорость будет направлена под углом 45° к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

112.2. Шарик, скатившийся со стола высоты 1м, упал на расстоянии 2м от края стола. Какова была горизонтальная скорость шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Здесь – начальная скорость тела, – скорость тела в момент времени t , s – дальность полета по горизонтали, h – высота над поверхностью земли, с которой тело брошено горизонтально с скоростью .

1.1.33. Кинематические уравнения проекции скорости :

1.1.34. Кинематические уравнения координат :

1.1.35. Скорость тела в момент времени t :

В момент падения на землю y = h , x = s (рис. 1.9).

1.1.36. Максимальная дальность полета по горизонтали:

1.1.37. Высота над поверхностью земли , с которой тело брошено

горизонтально:

Движение тела, брошенного под углом α к горизонту
с начальной скоростью

1.1.38. Траекторией является парабола (рис. 1.10). Криволинейное движение по параболе обусловлено результатом сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по горизонтальной оси и равнопеременного движения по вертикальной оси.

Рис. 1.10

( – начальная скорость тела, – проекции скорости на оси координат в момент времени t , – время полета тела, h max – максимальная высота подъема тела, s max – максимальная дальность полета тела по горизонтали).

1.1.39. Кинематические уравнения проекции:

;

1.1.40. Кинематические уравнения координат:

;

1.1.41. Высота подъема тела до верхней точки траектории:

В момент времени , (рис 1.11).

1.1.42. Максимальная высота подъема тела:

1.1.43. Время полета тела:

В момент времени , (рис. 1.11).

1.1.44. Максимальная дальность полета тела по горизонтали:

1.2. Основные уравнения классической динамики

Динамика (от греч. dynamis – сила) – раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе классической динамикилежатзаконы Ньютона . Из них получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.

1.2.1. Инерциальная система отчета – этосистема отсчета, в которой тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

1.2.2. Сила – это результат взаимодействия тела с окружающей средой. Одно из простейших определений силы: влияние одного тела (или поля), вызывающее ускорение. В настоящее время различают четыре типа сил или взаимодействий:

· гравитационные (проявляются в виде сил всемирного тяготения);

· электромагнитные (существование атомов, молекул и макротел);

· сильные (ответственны за связь частиц в ядрах);

· слабые (ответственны за распад частиц).

1.2.3. Принцип суперпозиции сил: если на материальную точку действует несколько сил , то результирующую силу можно найти по правилу сложения векторов:

.

Масса тела – мера инертности тела. Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или направление его скорости. Это свойство называется инертность.

1.2.5. Импульс (количество движения) – это произведение массы т тела на его скорость υ:

1.2.6. Первый закон Ньютона :Всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её (его) изменить это состояние.

1.2.7. Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки): скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе (рис. 1.11):

Рис. 1.11	Рис. 1.12

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки:

и .

1.2.8. Третий закон Ньютона : силы, с которыми действуют друг на друга два тела, равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.12):

1.2.9. Закон сохранения импульса для замкнутой системы: импульс замкнутой системы не изменяется во времени (рис. 1.13):

,

где п – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Рис. 1.13

Закон сохранения импульса не является следствие законов Ньютона, а является фундаментальным законом природы , не знающим исключений, и является следствием однородности пространства.

1.2.10. Основное уравнение динамики поступательного движения системы тел:

где ускорение центра инерции системы; – общая масса системы из п материальных точек.

1.2.11. Центр масс системы материальных точек (рис. 1.14, 1.15):

.

Закон движения центра масс: центр масс системы двигается, как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная векторной сумме всех сил, действующих на систему.

1.2.12. Импульс системы тел :

где скорость центра инерции системы.

Рис. 1.14	Рис. 1.15

1.2.13. Теорема о движении центра масс : если система находится во внешнем стационарном однородном поле сил, то никакими действия ми внутри системы невозможно изменить движение центра масс системы :

.

1.3. Силы в механике

1.3.1. Связь веса тела с силой тяжести и реакцией опоры :

Ускорение свободного падения (рис. 1.16).

Рис. 1.16

Невесомость – состояние, при котором вес тела равен нулю. В гравитационном поле невесомость возникает при движении тела только под действием силы тяжести. Если a = g , то P = 0.

1.3.2. Соотношение между весом, силой тяжести и ускорением :

1.3.3. Сила трения скольжения (рис. 1.17):

где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

1.3.5. Основные соотношения для тела на наклонной плоскости (рис. 1.19).:

· сила трения : ;

· равнодействующая сила : ;

· скатывающая сила : ;

· ускорение :

Рис. 1.19

1.3.6. Закон Гука для пружины : удлинение пружины х пропорционально силе упругости или внешней силе:

где k – жесткость пружины.

1.3.7. Потенциальная энергия упругой пружины :

1.3.8. Работа, совершённая пружиной :

1.3.9. Напряжение – мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий (рис. 1.20):

где площадь поперечного сечения стержня, d – его диаметр, – первоначальная длина стержня, – приращение длины стержня.

Рис. 1.20	Рис. 1.21

1.3.10. Диаграмма деформации – график зависимости нормального напряжения σ = F /S от относительного удлинения ε = Δl /l при растяжении тела (рис. 1.21).

1.3.11. Модуль Юнга – величина, характеризующая упругие свойства материала стержня:

1.3.12. Приращение длины стержня пропорционально напряжению:

1.3.13. Относительное продольное растяжение (сжатие) :

1.3.14. Относительное поперечное растяжение (сжатие) :

где начальный поперечный размер стержня.

1.3.15. Коэффициент Пуассона – отношение относительного поперечного растяжения стержня к относительному продольному растяжению :

1.3.16. Закон Гука для стержня : относительное приращение длины стержня прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально модулю Юнга:

1.3.17. Объемная плотность потенциальной энергии :

1.3.18. Относительный сдвиг (рис1.22, 1.23):

где абсолютный сдвиг.

Рис. 1.22	Рис.1.23

1.3.19. Модуль сдвига G – величина, зависящая от свойств материала и равная такому тангенциальному напряжению, при котором (если бы столь огромные упругие силы были возможны).

1.3.20. Тангенциальное упругое напряжение :

1.3.21. Закон Гука для сдвига :

1.3.22. Удельная потенциальная энергия тела при сдвиге:

1.4. Неинерциальные системы отсчета

Неинерциальная система отсчёта – произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система.

Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. На силы инерции законы Ньютона не распространяются. Силы инерции неинвариантны относительно перехода из одной системы отсчета в другую.

В неинерциальной системе также можно воспользоваться законами Ньютона, если ввести силы инерции. Они фиктивны. Их вводят специально, чтобы воспользоваться уравнениями Ньютона.

1.4.1. Уравнение Ньютона для неинерциальной системыотсчета

где – ускорение тела массы т относительно неинерциальной системы; – сила инерции – фиктивная сила, обусловленная свойствами системы отсчета.

1.4.2. Центростремительная сила – сила инерции второго рода, приложенная к вращающемуся телу и направленная по радиусу к центру вращения (рис. 1.24):

,

где центростремительное ускорение.

1.4.3. Центробежная сила – сила инерции первого рода, приложенная к связи и направленная по радиусу от центра вращения (рис.1.24, 1.25):

,

где центробежное ускорение.

Рис. 1.24	Рис. 1.25

1.4.4. Зависимость ускорения свободного падения g от широты местности приведена на рис. 1.25.

Сила тяжести есть результат сложения двух сил: и ; таким образом, g (а значит и mg ) зависит от широты местности :

,

где ω– угловая скорость вращения Земли.

1.4.5. Сила Кориолиса – одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения (рис. 1.26, 1.27).

где угловая скорость вращения.

Рис. 1.26	Рис. 1.27

1.4.6. Уравнение Ньютона для неинерциальных систем отсчета с учетом всех сил примет вид

где – сила инерции, обусловленная поступательным движением неинерциальной системы отсчета; и – две силы инерции, обусловленные вращательным движением системы отсчета; – ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета.

1.5. Энергия. Работа. Мощность.
Законы сохранения

1.5.1. Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия всех видов материи.

1.5.2. Кинетическая энергия – функция состояния системы, определяемая только скоростью её движения:

Кинетическая энергия тела – скалярная физическая величина, равная половине произведения массы m тела на квадрат его скорости.

1.5.3. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа равнодействующих сил, приложенная к телу, равна изменению кинетической энергии тела, или, другими словами, изменение кинетической энергии тела равно работе A всех сил, действующих на тело.

1.5.4. Связь кинетической энергии с импульсом :

1.5.5. Работа силы – количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Работа в механике .

1.5.6. Работа постоянной силы:

Если тело двигается прямолинейно и на него воздействует постоянная сила F , которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения (рис. 1.28), то работа этой силы определяется по формуле:

,

где F – модуль силы, ∆r – модуль перемещения точки приложения силы, – угол между направлением силы и перемещения.

Если < /2, то работа силы положительна. Если > /2, то работа силы отрицательна. При = /2 (сила направлена перпендикулярно перемещению), то работа силы равна нулю.

Рис. 1.28	Рис. 1.29

Работа постоянной силы F при перемещении вдоль оси x на расстояние (рис. 1.29) равна проекции силы на эту ось умноженной на перемещение :

.

На рис. 1.27 показан случай, когда A < 0, т.к. > /2 – тупой угол.

1.5.7. Элементарной работой dA силы F на элементарном перемещении dr называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

1.5.8. Работа переменной силы на участке траектории 1 – 2 (рис. 1.30):

Рис. 1.30

1.5.9. Мгновенная мощность равна работе, совершаемой в единицу времени:

.

1.5.10. Средняя мощность за промежуток времени :

1.5.11. Потенциальная энергия тела в данной точке – скалярная физическая величина, равная работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении тела из этой точки в другую , принятую за нуль отсчета потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела или производная потенциальной энергии по координатам.

Поэтому потенциальную энергию в каком-то определенном положении считают равной нулю, а энергию тела отсчитывают относительно этого положения (нулевого уровня отсчета).

1.5.12. Принцип минимума потенциальной энергии . Любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна.

1.5.13. Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии

.

1.5.14. Теорема о циркуляции вектора : если циркуляция какого-либо вектора силы равна нулю, то эта сила консервативна.

Работа консервативных сил вдоль замкнутого контура L равна нулю (рис. 1.31):

Рис. 1.31

1.5.15. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия между массами m и M (рис. 1.32):

1.5.16. Потенциальная энергия сжатой пружины (рис. 1.33):

Рис. 1.32	Рис. 1.33

1.5.17. Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциально энергий:

Е = Е к + Е п.

1.5.18. Потенциальная энергия тела на высоте h над землей

Е п = mgh .

1.5.19. Связь между потенциальной энергией и силой :

Или или

1.5.20. Закон сохранения механической энергии (для замкнутой системы): полная механическая энергия консервативной системы материальных точек остается постоянной:

1.5.21. Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел:

1.5.22. Закон сохранения механической энергии и импульса при абсолютно упругом центральном ударе (рис. 1.34):

где m 1 и m 2 – массы тел; и – скорости тел до удара.

Рис. 1.34	Рис. 1.35

1.5.23. Скорости тел после абсолютно упругого удара (рис. 1.35):

.

1.5.24. Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара (рис. 1.36):

1.5.25. Закон сохранения импульса при движении ракеты (рис.1.37):

где и – масса и скорость ракеты; и масса и скорость выбрасываемых газов.

Рис. 1.36	Рис. 1.37

1.5.26. Уравнение Мещерского для ракеты.

Теория

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны а х = 0, а у = -g.

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

,

где – начальная скорость, α – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) Тогда

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t 0 . Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

.

(3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

Обновлено:

На нескольких примерах (которые я изначально решал, как обычно, на otvet.mail.ru) рассмотрим класс задач элементарной баллистики: полет тела, запущенного под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью, без учета сопротивления воздуха и кривизны земной поверхности (то есть направление вектора ускорения свободного падения g считаем неизменным).

Задача 1. Дальность полета тела равна высоте его полета над поверхностью Земли. Под каким углом брошено тело? (в некоторых источниках почему-то приведен неправильный ответ - 63 градуса).

Обозначим время полета как 2*t (тогда в течение t тело поднимается вверх, и в течение следующего промежутка t - спускается). Пусть горизонтальная составляющая скорости V1, вертикальная - V2. Тогда дальность полета S = V1*2*t. Высота полета H = g*t*t/2 = V2*t/2. Приравниваем
S = H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Отношение вертикальной и горизонтальной скоростей есть тангенс искомого угла α, откуда α = arctan(4) = 76 градусов.

Задача 2. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью V0 под углом α к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела: а) в начале движения; б) в верхней точке траектории.

В обоих случая источник криволинейности движения - это гравитация, то есть ускорение свободного падения g, направленное вертикально вниз. Все что здесь требуется - найти проекцию g, перпендикулярную текущей скорости V, и приравнять ее центростремительному ускорению V^2/R, где R - искомый радиус кривизны.

Как видно из рисунка, для начала движения мы можем записать
gn = g*cos(a) = V0^2/R
откуда искомый радиус R = V0^2/(g*cos(a))

Для верхней точки траектории (см. рисунок) имеем
g = (V0*cos(a))^2/R
откуда R = (V0*cos(a))^2/g

Задача 3. (вариация на тему) Снаряд двигался горизонтально на высоте h и разорвался на два одинаковых осколка, один из которых упал на землю через время t1 после взрыва. Через какое время после падения первого осколка упадёт второй?

Какую бы вертикальную скорость V ни приобрел первый осколок, второй приобретет ту же по модулю вертикальную скорость, но направленную в противоположную сторону (это следует из одинаковой массы осколков и сохранения импульса). Кроме того, V направлена вниз, поскольку иначе второй осколок прилетит на землю ДО первого.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Второй полетит вверх, потеряет вертикальную скорость через время V/g, и затем через такое же время долетит вниз до начальной высоты h, и время t2 его задержки относительно первого осколка (не время полета от момента взрыва) составит
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

дополнено 2018-06-03

Цитата:
Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определить тангенциальное и нормальное ускорение тела спустя 1,0 с после начала движения, радиус кривизны траектории в этот момент времени, длительность и дальность полета. Какой угол образует вектор полного ускорения с вектором скорости при t = 1,0 с

Начальная горизонтальная скорость Vг = V*cos(60°) = 10*0.5 = 5 м/с, и она не меняется в течение всего полёта. Начальная вертикальная скорость Vв = V*sin(60°) = 8.66 м/с. Время полёта до максимально высокой точки t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 сек, а значит длительность всего полёта 2*t1 = 1.767 с. За это время тело пролетит по горизонтали Vг*2*t1 = 8.84 м (дальность полёта).

Через 1 секунду вертикальная скорость составит 8.66 - 9.8*1 = -1.14 м/с (направлена вниз). Значит угол скорости к горизонту составит arctan(1.14/5) = 12.8° (вниз). Поскольку полное ускорение здесь единственное и неизменное (это ускорение свободного падения g , направленное вертикально вниз), то угол между скоростью тела и g в этот момент времени составит 90-12.8 = 77.2°.

Тангенциальное ускорение - это проекция g на направление вектора скорости, а значит составляет g*sin(12.8) = 2.2 м/с2. Нормальное ускорение - это перпендикулярная к вектору скорости проекция g , она равна g*cos(12.8) = 9.56 м/с2. И поскольку последнее связано со скоростью и радиусом кривизны выражением V^2/R, то имеем 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R, откуда искомый радиус R = 2.75 м.